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Edward Lorenz, quien publicó en 1963
"Deterministic Nonperiodic Flow" sobre el comportamiento no lineal de tres
ecuaciones lineales correspondientes a un modelo simplificado de la dinámica
de fluidos. James Yorke descubrió en 1972 el trabajo de Lorenz,
lo difundió y lo analizó con Robert May (matemático,
biólogo y ecólogo). Analizando matemáticamente el
comportamiento de la ecuación (que May puso en evidencia). Yorke
probó que cualquier sistema unidimensional, si muestra en algún
momento un periodo regular de 3, mostrará ciclos regulares de extensión
diferente y también otros, caóticos. Así llegó
a la conclusión de que "sistemas simples hacen cosas complejas",
que publicó en el artículo "Period Three implies Chaos" (1975)
Se descubrieron luego efectos similares en genética, economía,
dinámica de fluidos, epidemiología, fisiología.
Benoit Mandelbrot encontró luego una estructura regular al comprar - en diferentes escalas- las evoluciones del precio del algodón en todo el último siglo, como también en la evolución de las rentas. Encontró aspectos parecidos en las secuencias de errores en la transmisión computacional de datos, en las crecidas del Nilo, en la forma de las nubes y de las costas. En 1975 inventa el termino "fractal" que se aplica a la representación geométrica de este tipo de fenómeno. En un fractal las cuencas corresponden a Atractores (funciones poderosas que parecen mantener un fenómeno dentro de ciertos límites, hasta que la suma de pequeños cambios hace que su evolución se "libera" o, a la inversa, que conduce a la suma de cambios a un estado aparentemente más estable). Los límites entre cuencas ponen en evidencia que la frontera entre "la calma y la catástrofe" es más compleja de todo lo que se puede imaginar.
Mitchell Feigenbaum se plantea que "para entender cómo la mente humana entresaca algo del caos de la percepción habría que entender como el desorden produce universalidad" (P. Ej. Visto de lejos, los movimientos de un familia en un picnic parecen caóticos) Al comparar la evolución de diversas funciones que producen bifurcaciones llegó a una teoría y a un procedimiento matemático aplicable en forma universal. Las pruebas matemáticas definitivas las produjo Oscar Lamford III en 1979.
John Hubbard demostró la existencia de una continuidad lineal de todos los elementos de un gráfico fractal, con infinita variedad (en una repetición sólo aparente a grandes rasgos). Y las investigaciones demuestran que todos los fractales parecen terminar en el conjunto de Mandelbrot (ver figura debajo), confirmándose el principio de universalidad.
En 1977, Robert Shaw, doctorado de la Universidad
de Santa Cruz, abandona sus trabajos de física superconductora para
dedicarse al caos, que descubre programando el Atractor de Lorenz en un
computador analógico. Varios nuevos profesionales se le unieron
para intentar enlazar la teoría (aún débil) con lo
experimental (más desarrollado). Shaw descubrió la relación
entre los Atractores, el caos y la Teoría de la información
fundada en la entropía. Los Atractores son medidas de la entropía,
el caos es la creación de la información; Sin caos, no hay
sorpresa, es decir, no hay información.
Arnold Mandell, descubrió un comportamiento
caótico en las enzimas del cerebro. Los trabajos de Mandell apuntan
a reconocer que el funcionamiento de la mente también tiene una
estructura fractal, tanto en su base fisiológica, como en la estructura
semántica. "Muchos científicos emprendieron la aplicación
de los formulismos del caos a la investigación de la inteligencia
artificial. La dinámica de sistemas que vagaban entre cuencas de
atracción, por ejemplo, atrajo a quienes buscaban la forma de establecer
modelos de símbolos y recuerdos. El físico que pensara en
las ideas como regiones de límites imprecisos, separadas, aunque
coincidentes, atrayendo como imanes, y al mismo tiempo, dejando ir, recurriría
naturalmente a la imagen de un espacio de fases con "cuencas de atracción".
Tales modelos parecía tener los rasgos idóneos: Puntos de
estabilidad mezclados con inestabilidad y regiones de límites mutables.
Su estructura fractal ofrecía la clase de cualidad de autoreferencia
infinita que posee, al parecer, importancia tan esencial en la capacidad
de la mente para florecer en ideas, decisiones, emociones y demás
elementos de la consciencia. Con el caos o sin él, los científicos
cognoscitivos honestos, no pueden establecer ya un modelo de la mente como
una estructura estática. Reconocen una jerarquía de escalas,
desde la neurona en adelante, que brinda la oportunidad al juego reciproco
de macroescalas y microescalas, tan peculiar de la turbulencia fluida y
de otros procesos dinámicos complejos."
S=S
Se volvió aparente que la longitud de una costa no es una unidad muy útil, sin embargo el número 0.22, el cual indica la inclinación de la linea en el gráfico, le da un valor para el "grado de serpenteo" (es decir de distorsión) y es característica de esa costa.
El matemático Franco-americano Benoit Mandelbrot agregó 1 a la pendiente y llamó al número resultante la dimensión de la linea representando la costa.
Mandelbrot y otroa matematicos refinaron
y generalizaron la definición de dimensión. Eligiendo
una vara arbitrariamente pequeña, medimos la longitud de una linea
distorsionada aproximandola tan cercanamente comosea posible con
una linea hecha de segmentos de igual longitud.Si es necesario usar la
vara N veces, entonces la longitud medida es Na, la definición de
dimensión es ahora:
D=lim a-? log(N)/log(1/a)
Esta ecuación sería un tema de especialistas si no fuera que se han encontrado muchos casos en que esta dimensión no es entera, la superficie de la tiera es uno de estos ejemplos, las lineas costeras,las hojas de los arboles,etc.De hecho, muchos de los modelos usados, tienen sin saberlo, correciones para remediar la dimensión fraccionaria (p. ej. la rugosidad de una tubería)
Los Fractales son formas geométricas
similares a sí mismas a diferentes escalas. Más claramente,
de un fractal se ve lo mismo, o casi lo mismo, no importa el tamaño
al que lo miramos. El más simple es el triángulo de Sierpinski,
que está compuesto de cuatro triángulos más pequeños
que también están compuestos de cuatro aún más
pequeños, etc.
Los fractales tienen muchas propiedades interesantes, pero la más importante es la de ser parecido a sí mismos. Los fractales están en relación estrecha con la teoría del caos, porque los fractales pueden describir las formas curiosas de la naturaleza, tales como nubes, montañas, costas, que no coinciden con ninguna forma geométrica antes conocida. Pero hasta las arterias, venas y nervios del cuerpo humano tienen forma de fractales.
J..E. Hutchinson fue en 1981 el primer matemático que estudiando las propiedades comunes (compacidad, autosemejanza,...) de los fractales ya conocidos, elaboró una teoría unificada para la obtención de una amplia clase de conjuntos fractales: los fractales autosemejantes.
M.F. Barnsley, en 1985, estudió una generalización del método de J.E. Hutchinson. Mientras que J.E. Hutchinson utilizaba semejanzas contractivas, M.F. Barnsley utiliza aplicaciones contractivas, lo que le permite ampliar notablemente la familia de Fractales obtenidos. El método de M.F. Barnsley descubre la posibilidad de encontrar un fractal que se aproxime, tanto como queramos, a un objeto natural.
M.F. Barnsley utiliza el término fractal
para referirse a cualquier conjunto compacto y no vacío. El método
de M.F. Barnsley para generar conjuntos fractales, se basa en los sistemas
de funciones iteradas (SFI).
Autosimilaridad.- Lo que vemos es semejante a cualquier escala
Para construir un fractal autosemejante partimos
de un número finito de transformaciones que son semejanzas contractivas.
Una aplicación f : Rn
-----> Rn, se llama contractiva si:
d(f(x) , f(y)) £ r · d(x , y) , " x , y ÎRn
Entre dos figuras semejantes y distintas del plano euclídeo, siempre existe una aplicación contractiva que transforma la mayor en la menor. Esta aplicación contractiva es una composición de isometrías (traslaciones, giros y simetrías) y una homotecia contractiva.
La forma general de la aplicación contractiva es:
F(x , y) = (a · x + b · y + e , c · x + d · y + f)
Para determinar los coeficientes a, b, c, d, e,
f, se procede a determinar las imágenes de tres puntos y a resolver
el correspondiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas que
nos dará sus valores.
Giro de ángulo q y centro el origen:
Simetría respecto del eje de abscisas:
f(x , y) = (x , -y)
Homotecia centrada en el origen de razón K:
f(x , y) = (K · x , K · y)
Llamaremos sistema de funciones iteradas
(SFI) en Rn a cualquier familia finita {f
limk->¥ FK(B) = A
en el espacio métrico completo (H(Rn)
, dH).
Sea {f
F(A) = A
Un método para calcular el atractor asociado a un SFI consiste en partir de cualquier B Í H(Rn) e iterar la aplicación F sobre B, calculando {FK(B)}K = 0 , ... , ¥ . Aplicando el teorema del punto fijo, acotamos la distancia entre el atractor y la aproximación como sigue:
dH(FK(B) , A) £ 1 / (1 – r) · dH(FK(B) , FK+1(B))
Estudiamos el sistema dinámico complejo
cuadrático (C , fC) / fC(z) = z
Cada uno de estos dos tipos de puntos constituye
una región del plano complejo, y en medio queda una frontera infinitamente
delgada que se conoce con el nombre de conjunto de Julia, y tiene estructura
fractal.
Para representar gráficamente el conjunto
de Julia para un cierto c ÎC dado,
lo único que hay que hacer es plantear el sistema dinámico
(C , fC), y estudiar si la órbita de los z ÎC
diverge o no.
Para saber si dicha órbita diverge, buscamos si algún punto de la órbita tiene módulo mayor o igual que dos, ya que si esto ocurre, hay un teorema de cálculo complejo que nos dice que la órbita diverge.
Hay que acotar el número de puntos de la órbita que estudiamos para ver el carácter de la órbita. Una buena cota práctica puede ser considerar 100 puntos. Si se toma un número mayor de puntos, la representación del conjunto de Julia será más exacta, aunque a costa de un mayor tiempo de cálculo. Algunas imágenes De Este Conjunto Se ven a continuación, haga clic sobre ellas para ver una imágen de mayor tamaño.
Para representar el conjunto de Mandelbrot,
hay que considerar lo siguiente:
Julia probó que para decidir la conexión
del conjunto de Julia asociado a un sistema dinámico complejo cuadrático
(C , fC), para cualquier c
ÎC,
es suficiente estudiar la órbita de z = 0. Para decidir si la órbita
diverge, basta aplicar el teorema de cálculo complejo que nos dice
que una órbita del sistema dinámico complejo (C ,
fC(z) = z
El conjunto de Mandelbrot es conexo (demostrado por J.H.Hubbord y A.Douady). Algunas imágenes De Este Conjunto Se ven a continuación, haga clic sobre ellas para ver una imágen de mayor tamaño.
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